Konsep Gradien dan Garis Lurus

Dalam aktivitas sehari-hari, tentunya kalian pernah menggambar garis lurus, namun apakah kalian tahu bahwa setiap garis lurus mempunyai kemiringan tertentu?

Mari kita cermati gambar ruas jalan berikut ini.

Ruas jalan dari A sampai D posisi jalannya miring. Pada ruas jalan dari A sampai B, jarak horizontalnya 15 m dan ketinggiannya 5 m, sedangkan pada ruas jalan dari C sampai D, jarak horizontalnya 18 m dan ketinggiannya 4 m.

Pengertian Gradien

Ukuran kemiringan, yang selanjutnya disebut gradien, untuk masing-masing ruas garis pada gambar di atas dapat ditentukan dengan cara berikut.

1.    AE, BF, AG, dan CH merupakan perubahan jarak mendatar yang selanjutnya disebut dengan perubahan nilai x atau perubahan jarak mendatar.

2.    BE, CF, CG, dan DH merupakan perubahan jarak tegak yang selanjutnya disebut dengan perubahan nilai y atau perubahan jarak tegak.

Dengan kata lain, gradien merupakan nilai perbandingan antara perubahan nilai y dengan perubahan nilai x.

Perhatikan gradien ruas garis AB, BC, dan AC pada uraian di atas. Ternyata ketiga ruas garis tersebut memiliki gradien yang sama, yaitu 1/3 , walaupun panjangnya berbeda.

Jadi, gradien garis tidak tergantung pada panjang garis.

Gradien atau kemiringan garis AB=perubahan  nilai  y  pada  garis  ABperubahan  nilai  x  pada  garis  AB   

Gradien Garis pada Bidang Koordinat Cartesius

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada garis k , terdapat ruas garis OA dan OB dengan koordinat O(0 , 0), A(5 , 4), dan B(-5 , -4).

Dengan demikian,

Jadi, gadien garis k = gradien OA = gradien OB = 4/5

Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :

1.    Untuk menentukan gradien garis k, kita perlu memilih salah satu ruas garis pada garis k, misal : garis OA atau OB.

2.    Perubahan nilai x bernilai positif jika bergerak ke kanan (dari O bergerak ke C)

3.    Perubahan nilai x bernilai negatif jika bergerak ke kiri (dari O bergerak ke D)

4.    Perubahan nilai y bernilai positif jika bergerak ke atas (dari C bergerak ke A)

5.    Perubahan nilai y bernilai negatif jika bergerak ke bawah (dari D bergerak ke B)

6.    Garis dengan kemiringan seperti garis k mempunyai gradien bernilai positif

Gradien Garis yang Melalui Dua Titik

Perhatikan titik A(x₁ , y₁) dan B(x₂ , y₂) pada gambar di atas.

Untuk menentukan gradien garis AB pada gambar (a), terlebih dahulu kita tentukan perubahan nilai x dan perubahan nilai y dari garis AB.

1.    Perubahan nilai x garis AB = AM = x₂ - x₁

2.    Perubahan nilai y garis AB = MB = y₂ - y₁

Untuk selanjutnya, gradien garis AB dapat ditulis m_AB

Gradien Garis yang saling Sejajar

Garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
m₁ = m₂

Gradien Garis yang saling Tegak Lurus

Hasil kali gradien antara kedua garis yang saling tegak lurus adalah (-1)
m₁ X m₂ = - 1

Garis Lurus

Bentuk umum dari persamaan garis lurus adalah y = mx + c atau ax + by = c

Selanjutnya, 
1. gradien dari garis y = mx + c adalah m 
2. gradien dari garis ax + by = c adalah -a/b

Aksioma : melalui dua buah titik hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Dengan demikian, hanya ada satu garis yang melalui titik (x₁ , y₁) dan (x₂ , y₂) , yaitu :

y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

Untuk memperdalam pemahaman kalian, mari kita mencermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1 :

Gambar di bawah menunjukkan tampak samping dari bagian tangga beton. Hitunglah gradien tangga tersebut!

Penyelesaian :

Untuk menentukan gradien, kita perlu membuat garis yang melalui pojok-pojok atas tangga seperti gambar di bawah.

Gradien tangga====gradien garis ABperubahan  nilai  y perubahan  nilai  x  4812

Contoh 2 :

Tentukan gradien garis yang menghubungkan pasangan titik P(- 3, 6) dan Q(5, - 4).

Penyelesaian :

1.    Karena P(-3 , 6) maka x₁ = -3 dan y₁ = 6

2.    Karena P(5 , -4) maka x₁ = 5 dan y₁ = -4

Dengan demikian,

mPQ====y2−y1x2−x1−4−65−(−3)−108−114

Contoh 3 :

Garis g yang bergradien -5/3 sejajar dengan garis l. Tentukan gradien garis l !

Penyelesaian :

Karena garis l sejajar dengan garis g, maka m_l = m_g = -5/3

Contoh 4 :

Garis k yang bergradien 2/5 tegak lurus dengan garis l. Tentukan gradien garis l !

Penyelesaian :

Karena garis l sejajar dengan garis k, maka m_l X m_k = -1 <=> m_l = -1/m_k = -5/2

Contoh 5 :

Tentukan gradien dari garis berikut :
1. 6x + 4y = 12
2. 3x - 8y + 15 =0

Penyelesaian :

1. 6x + 4y = 12 => m = -a/b = -6/4 = -3/2
2. 3x - 8y + 15 = 0 => m = -a/b = -3/(-8) = 3/8

by: Quipper School

https://learn3.quipperschool.com/